Чтобы что-то понять о физической системе и сделать о ней выводы, ее
необходимо измерить. И если в классической физике это не
представляет труда, то квантовая механика заставляет полностью
пересмотреть концепцию измерений. Как же измерить то, что измерить
невозможно? Чем квантовые измерения отличаются от обычных?
ПостНаука рассказывает, как проводятся проективные и слабые
измерения и зачем делать КТквантовой частицы.Это материал изгида
Квантовая механика. Партнер гида Академия Росатома.Что отличает
квантовые измерения от классическихИзмерения это единственный
способ взаимодействия с квантовым миром, единственная возможность
получить информацию о том, что в нем происходит. Вся
экспериментальная наука основана на измерениях: люди что-то
измеряют, интерпретируют полученные данные и строят теории, чтобы
объяснить, как получаются эти данные. Эмпирическая наука
заключается в том, чтобы предсказать, какими будут результаты
определенных измерений, проведенных в определенных условиях. Если
предсказание подтверждается, то теория работает . Если нет, нужно
придумывать другую теорию, которая соотносилась бы с результатами
эксперимента.В классической механике мы обычно имеем дело с
большими объектами, динамика которой описывается привычными для нас
классическими законами. Когда мы наблюдаем поведение большого,
классическогообъекта, то это воздействие (наблюдение) не влияет на
него критически. Действительно, ведь, например, траектория летящего
камня не будет сильно меняться в зависимости от того, в темноте он
будет лететь или при солнечномсвете. Если же иметь дело с маленьким
электроном, то при рассеивании света воздействие на него будет
очень сильным.Ученым стало понятно, что они не смогут измерять
квантовые системы так же, как классические, в начале XX века, когда
Эрнест Резерфорд поставил опыт, который позволил получить
представление о строении атома. В результате Резерфорд создал
модель атома с ядроми вращающимися вокруг него электронами. Позже
Нильс Бор привел теорию, которая объясняла эту модель и
бальмеровские спектры. Тогда ученые стали понимать, что свойства
элементарных частиц сильно отличаются от привычных для нассвойств
объектов.Из-за того, что при измерении происходит сильное
воздействие на маленькую квантовую систему, вотличие от
классической физики, в парадигме квантовой теории нельзя достоверно
предсказать исход измерения можно предсказать только его
вероятность. Даже самый точный прибор не сможет достоверно
предсказать исход эксперимента. В этом специфика квантовых
измерений, и в этом состоит главное отличие квантовой теории от
классической. Мы не можем точно знать, какой из двух детекторов
щелкнет в результате измерения 1 или 2. Мы задаем вопрос, с какой
вероятностью детектор 1 будет щелкать в серии из большого числа
измерений.Квантовые измерения можно представлять себе на примере
фотонов и поляризатора. У фотона есть поляризация его вектор. Фотон
ориентирован относительно направления поляризации. Если направление
совпадает, он проходит через поляризатор, если не совпадает нет. В
результате получается единица или ноль. Если повернуть поляризацию
на 45, будут получаться иногда нули, а иногда единицы. В каждом
акте измерения нельзя предсказать результат, можно знать только его
вероятность.Формирование постулатов измеренийПосле того как
Резерфорд предложил планетарную модель атома, ученые задумались о
том, почему электроны в этой модели не падают на ядро,как должно
было бы происходить в классической физике, из-за того что
двигающийся с ускорением заряд должен излучать. Решение нашел Нильс
Бор, предположив, что электроны движутся по квантовым орбитам и
излучают энергию только при переходе с одной орбиты на
другую.Окончательно разрешил парадокс электронов на орбитах Вернер
Гейзенберг, который решил рассматривать квантовые события
принципиально иначе, чем в классической физике. Он отказался от
представления орбит с определенными радиусами и перешел
кматематическим представлениям, использовавшим доступные для
наблюдения величины,напримеримпульсы, частоты. Гейзенберг рассчитал
уравнения с этими величинами и вывел правила, по которым с ними
должны были проводиться математические операции.Шрёдингер ввел
математические образы состояния квантовой системы, которая обладает
корпускулярно-волновыми свойствами, но не сводится к частице
иливолне, в виде волновой функции в гильбертовом пространстве.
Кроме того, он описал волну вероятности нахождения частицы в
заданной точке пространства при помощи уравнения Шрёдингера,
которое, однако, не оказалось способным описать изменения квантовой
системы, поскольку было детерминистичным.Макс Борн положил начало
вероятностной интерпретацией волновой функции и в своих постулатах
учел сочетание корпускулярных и волновых свойств. Его идеи стали
главными для понимания квантовой механики и роли измерения в ней.
Согласно постулатам Борна, состояние физической системы в квантовой
механике определяется не значениями, а распределениями вероятности
значений соответствующих измеримых величин. Соответственно, для
измерения состояния системы недостаточно одного измерения,
требуется целая серия. Как и в классической физике, измерение лишь
проявляет существующее состояние системы и не предсказывает, что с
ней произойдет после измерения.Постулаты Шрёдингера и Борна
определили главные свойства квантовых систем вероятностный тип
поведения и корпускулярно-волновой дуализм. Сочетание
корпускулярных и волновых свойств можно наглядно увидеть в
реализации двухщелевого эксперимента Юнга: в нем микрочастицы
проходят через перегородку с двумя щелями, за которойстоит
фотопластинка, поглощающаячастицы.Если мы имеем дело с
электромагнитной или световой волной, мы видим интерференционную
картину. Если понизить интенсивность волны, то с помощью приборов
можно будет зафиксировать ее всплески. Всплески происходят там, где
в интерференционной картине яркие пятна; там, где в
интерференционной картине темные пятна, всплесков нет. Каждый
квант, каждая частица, из которых состоит световой поток,
представляет собой волну вероятности, которая интерферирует сама с
собой и может попадать в светлые места. Частица попадает туда, куда
выше вероятность попасть. Полная вероятность равна единице, то есть
100%. Вероятность можно измерять от 0 до 1 или от 0 до 100%.
Правило Борна заключается в том, что полная вероятность электронов
куда-то попасть равна единице, она выражается в виде формулы, в
виде свойства волновой функции.Вероятностная теория измеренийКогда
мы производим измерение над квантовой системой, хотим измерить ее
импульс, положение или энергию, мы ставим определенный эксперимент,
в результате которого определяется положение кванта в какой-то
момент времени, его импульс или энергия. При этом квант приобретает
какое-то значение с какой-то вероятностью.Так как квант находился в
суперпозиции, у него был набор возможных импульсов. Измерение с
какой-то вероятностью показало один конкретный импульс из этого
набора. Это называется вычислением вероятности исхода
измерения.Представим, что квант находится в какой-то области,
напримервнутри комнаты. Мы знаем, что есть пустая комната, а внутри
нее квант, и производим измерение его положения:запускаем зонд и
исследуем комнату с разных точек. Квант с какой-то вероятностью
может оказаться в какой-то из точек.Проекционные и слабые
измеренияПредставим себе, что у нас есть квантовая частица и прибор
для измерения. И тои другое квантовые системы, которые
взаимодействуют между собой. Чем сильнее они взаимодействуют, тем
больше информации об этих системах мы можем извлечь в ходе
измерения. Квантовая частица взаимодействует с чем-то внутри
прибора, после чего мы проверяем его состояние и смотрим, что он
нам показал.Предположим, что у вас фотон поляризован под 45 и вы
поставили горизонтальный поляризатор. Если фотон прошел через него,
он становится горизонтально поляризованным. Изначальное состояние
безнадежно испорчено:оно спроецировалось на собственное состояние
прибора. У каждого прибора есть набор собственных состояний грубо
говоря, положение стрелки, которое он может показать. И дальше вы
посылаете туда квантовую систему, она с определенными амплитудами
вероятности раскладывается по этим собственным состояниям,
иквадраты модулей этих амплитуд дают вам вероятности того, что
стрелка займет то или иное положение. При этом после измерения
состояние квантовой системы становится одним из этих собственных
состояний. Получается, мы узнаем коэффициенты, с которыми оно
раскладывается по собственному базису прибора. И при этом состояние
сильно портится. На этом принципе как раз основана квантовая
криптография на том, что нельзя извлечь нужную информацию и при
этом не испортить состояние.Проекционное измерение можно сделать в
нескольких базисах и узнать точно, каким было состояние поляризации
фотона, состояние квантовой системы. Такой метод называют квантовой
томографией: мы много раз с разных сторон смотрим на квантовую
систему и извлекаем максимально полную информацию о ее состоянии,
узнаем ее волновую функцию. Измеряем горизонтально, вертикально,
под 45, потом анализируем эту информацию и понимаем, что, скорее
всего, была правая циркулярная поляризация. Это максимум информации
о квантовойсистеме, который можно извлечь.Можно представить себе
другую ситуацию:когда прибор с частицей взаимодействует слабо,
частица меняет свое состояние совсем немного. Но при этом и
информации мы про нее получим мало. Нельзя будет достоверно узнать,
какая была поляризация. А можно сделать измерение, в котором мы не
узнаем точно состояние системы, но при этом и возмущение внесем
небольшое.Когда могут быть полезны слабые изменения? Предположим,
что мы хотим узнать что-то про состояние частицы. Для начала мы
можем сделать очень слабое измерение и извлечь частичную
информацию, не изменяя при этом критически состояние системы.
Дальше, уже опираясь на эту информацию, мы проводим следующее
измерение, чтобы извлечь еще немного информации и вновь при этом не
сильно испортить состояние, итак далее. Оказывается, такие
адаптивные слабые измерения могут в некоторых ситуациях дать больше
информации, чем проекционные.
Измерительный базис: главное отличие классического измерения от
квантовогоЧтобы понять, что такое измерительный базис, нужно знать
линейную алгебру науку про матрицы, векторы и линейные
пространства. Представьте себе вектор на плоскости этострелочка, у
которой есть начало и конец. Ее можно разложить в декартовой
системе координат как сумму двух векторов. Любой вектор на
плоскости задается двумя числами значениями проекции на одну ось и
на другую ось. Выбор этих осей и есть базис. Оси можно повернуть, и
значения проекции поменяются, но вектор останется тем же самым.
Поэтому вектор всегда должен быть привязан к базису, в котором он
записан. Без базиса он будет бессмысленным.Векторы можно
складывать. Существуют определенные математические операции
сложения векторов и умножения этих векторов на числа. Это
конструкция, которая определяет так называемое линейное
пространство.Оказывается, что квантово-механические системы ведут
себя таким образом, что их можно описывать в виде векторов векторов
состояния. Мы можем взять два разных состояния, составить из них
суперпозицию, то есть сложить их по некой математической
операциикак вектора, и получить другой вектор, который тоже будет
описывать состояние квантовой системы. Мы получим, таким образом,
математическое выражение принципа суперпозиции, линейное
пространство состояний.Каждое состояние квантовой системы это
вектор в линейном пространстве. И в этом пространстве можно выбрать
базис точно так же, как мы выбрали базис на плоскости. Если принять
квантовое состояние за вектор, то все остальные векторы
представляются как этот вектор, умноженный на число, плюс второй
вектор из базиса, умноженный на число, и так далее.
Векторыраскладываются по базису, и коэффициенты разложения связаны
с вероятностями получения результатов при измерениях. Каждому
эксперименту, каждому типу измерений над квантовой системой будет
соответствовать определенный базис в пространстве состояний.
Волновая функция представляет собой как раз координаты вектора
состояния в заданном базисе набор чисел, которому соответствует
некоторое квантовое состояние. Но мы не можем сказатькакое, пока не
зафиксировали базис.Базис можно ассоциировать с измерительным
прибором. Квантовая теория отличается от классической наличием
вероятностной интерпретации результатов измерений. С ней тесно
связано понятие измерительного базиса. Классическая теория
предполагает, что у любой наблюдаемой частицы изначально
предопределенное значение. А в квантовой механике оказывается, что
все зависит от того, как будут проводиться измерения. В одном и том
же состоянии при помощи разных измерительных приборов можно
получать самые разные исходы. Поэтому концепция измерительного
базиса заключается в том, что исход измерения определяется не
только состоянием системы и не только тем, как мы ее измеряем, а и
теми другим.Измерения и энтропияВ квантовой механике есть понятие
энтропии фон Неймана. Оно описывает степень нашего знания или
незнания о квантовом состоянии. В исходах измерений существует
фундаментальная неопределенность, которая обусловлена самой
природой квантовой теории. Даже если мы знаем состояние фотонов в
точности, состояние их поляризации, можем записать разложение
фотона по базису из измерений все равно в ходе эксперимента мы не
сможем точно предугадать результат.Но есть и следующий уровень
неопределенности. Предположим, у нас есть дырка в стене, из нее
вылетает фотон. Мы не знаем его состояние. Что мы можем сказать про
результат измерения? Это зависит от того, насколько сильно нам
неизвестно состояние фотона. Энтропия фон Неймана описывает степень
нашего незнания об этом состоянии. Если мы не знаем ничего, это
максимальная энтропия, это полностью неполяризованный свет.Бывают
ситуации, в которых незнание возникает по другим причинам.
Например, когда у нас есть две пары запутанных частиц. В этом
случае состояние всей системы определено, мы про него можем знать
максимум. Мы можем знать его вектор состояния или волновую
функцию.Таким образом, если у нас есть две запутанные частицы,
состояние системы может иметь определенную волновую функцию и
определенный вектор состояния, а для каждой частицы по отдельности
состояние неизвестно. Более того, в паре перепутанных фотонов у
каждого из них вовсе нет определенной поляризации. Она возникает
только в момент измерения, когда состояние частицы проецируется на
состояние измерительного прибора.Non-communication
theoremПредположим, у нас есть две половины перепутанной пары. Одну
мы отправляем на Марс, вторую на Венеру. На Марсе сидит Алиса, на
Венере Боб. Оба проводят измерения, связываются между собой и
обсуждают результаты, которые они получили. И если они выбирают
правильные измерения, то их результаты всегда будет
антикоррелированы или, наоборот, полностью коррелированы (в
зависимости от вида перепутанного состояния) в случае перепутанной
пары.Для тогочтобы это выяснить, Алисе и Бобу нужно обязательно
сообщить друг другу, в каком базисе они делали измерения. И если их
базисы совпали, у них всегда будут (анти)коррелированные
результаты. Но узнать об этом они могут, только связавшись друг с
другом. Если Алиса, которая сидит на Марсе, не знает о
существовании Боба, то она не сможет понять, какие у нее
частицы:половина перепутанной пары или совершенно случайное
неполяризованное состояние, которое никоим образом не связано с
частицами, которые есть у Боба.Когда Боб ей позвонити они сверят
результаты, они смогут понять, что у каждого из них половины
перепутанной пары. Но если измерять только одну половину, никак
нельзя понять, существует вообще Боб или его нет, и уж никак нельзя
на него повлиять. Это и есть принцип non-communication.Ученые
вывели его, когда начали рассматривать более общие вероятностные
теории, чем квантовые.Квантовая теория касается измерения
квантово-механически запутанных частиц. А если рассмотреть некий
черный ящик с неизвестной физикой и неизвестными законами? Встает
вопрос, насколько можно ограничить нашу фантазию. Сразу возникает
набор принципов, которым должен соответствовать черный ящик, чтобы
не противоречить здравому смыслу, потому что мы не хотим
рассматривать абстрактные модели мы хотим изучать то, что может
реализоваться в реальном мире.Так люди стали задумываться, какими
принципами нужно ограничивать вероятностные модели, чтобы они могли
иметь отношение к реальному миру.Приведем в пример классический
эксперимент. У нас есть два черных ящика. Мы кладем в них шары двух
цветов, черные и белые. В один из ящиков кладем всегда, например,
черные, а в другой белые. Отправляем один ящик на Марс, а другой на
Венеру, а сами остаемся на Земле и решаем, в какой из ящиков
положить какого цвета шар. При этом, когда мы в один ящик кладем
черный шар, в другой всегда помещаем белыйи наоборот, раскладывая
их случайным образом.Два экспериментатора на Марсе и Венере
получают эти ящики, открывают и смотрят: белый шар, затем черный.
Они записывают результаты, созваниваются по телефону и с удивлением
обнаруживают, что когда у одного из них в ящике был черный шар, у
другого всегда был белый. Как же так? Удивительно. Они заключают,
что где-то есть мы, раскладывающие эти шары в определенном порядке.
Мы в этом случае локальная скрытая переменная. Мы определяем, куда
положить шар.Что будет в квантовой теории? В квантовой теории можно
черный ящик вскрыть разными способами: можно открыть его сверху,
сбоку или снизу. Способ открывания ящика метафора для выбора базиса
измерений. Разныебазисы разныеспособы открыть ящик. В зависимости
от того, как экспериментаторы открыли ящик, они увидят там шар
черный или белый, синий или красный, зеленый или коричневый.Они
записывают результаты, связываются между собой и говорят: Я сейчас
открывал ящик сверху. Второй отвечает: О, и я тоже. И видят, что у
одного был шар синий, ау другого красный. Если оба открывали ящик
снизу, у одного был коричневый шар, у другого зеленый. И так
постоянно.И здесь возникает парадокс: как шар Боба узнает, каким
ему надо стать в зависимости от того, что происходит у Алисы?
Экспериментаторы же сами решают, как им открыть ящик. Поэтому шар,
который лежит внутри, должен уже быть определенного цвета: он либо
черный или белый, либо синий или красный, либо зеленый или
коричневый.Ответ заключается в том, что изначально у шара цвета
нет. Он принимает определенный цвет в тот момент, когда открывается
ящик, в результате этого процесса. Это и есть взаимодействие
частицы с измерительным прибором.Изначально у частицы нет
определенного цвета в нашей аналогии, нет локальной скрытой
переменной. В случае с черно-белыми шарами она есть, и шар всегда
либо черный, либо белый. В квантовой теории узнать, какого цвета
шар, нельзя, потому что он никакого цвета, иначе мы столкнемся с
противоречием, и нам придется признать, что шар у Алисы знает
что-то про то, как Боб открыл коробку. Но ведь экспериментаторы
находятся далеко друг от друга один на Марсе, другой на Венере и
открывают ящики одновременно. Нет никакого физического способа
мгновенно донести информацию, чтобы шар перекрасился.В этом и
заключается существенная разница между классическими и квантовыми
измерениями. В классических измерениях результатвсегда
предопределен некоторой скрытойпеременной человек, который где-то
сидит и соответствующим образом перетасовывает шары, после чего с
ними уже ничего не происходит. Как они разложены, так и разложены,
и вся случайность, которая возникает, только кажется. Она вызвана
тем, что экспериментаторы не знают, где какой шар. В квантовой
теории так не получится. Никто не может сказать, какого цвета шар
внутри. И это фундаментальный момент: что бы мы ни знали, наше
максимально полное знание обо всех процессах во Вселенной все равно
не сможет нам сказать, что мы увидим при открывании черного
ящика.Занаучную консультацию при работе над материалом мыблагодарим
Cтанислава Страупе,кандидата физико-математических наук,
старшегонаучногосотрудника центра квантовых технологий физического
факультета МГУ имени М.В.Ломоносова
