До того как древнегреческий математик Евдокс обнаружил, что
отношение диагонали квадрата к его стороне не выражается отношением
двух целых чисел, полагали, что любое число можно записать в виде
отношения двух целых чисел. Как приближенно записать иррациональные
числа, такие как 2, в виде отношения двух целых m/n и что такое
цепная дробь?Число В уравнениях, с помощью которых рассчитываются
траектории движения ракет и самолетов, нужны очень точные
константы, с точностью до десятимиллиардных. Если мы посылаем
корабль на Луну, то точность нужна даже выше, чтобы корабль при
посадке не разбился. Таким образом, в практических задачах
возникают вопросы, что делать с числами, которые не являются
отношениями двух целых, как получить наиболее близкое отношение
двух целых например, в диапазоне таких отношений двух целых, где
знаменатель не превосходит определенного фиксированного
числа.Рассмотрим число отношение длины окружности к ее диаметру.
Как выяснилось в конце XIX века, оно не является рациональным
числом, то есть не задается как отношение двух целых чисел. Более
того, число имеет сложную природу и не может быть выражено даже как
корень целочисленного многочлена вроде 5x37x2+18x1=0: ни при каком
многочлене с целыми коэффициентами нельзя будет получить ноль,
подставляя вместо х число . Это утверждение чрезвычайно смелое,
даже дерзкое настолько, что его смогли доказать только в конце XIX
века.Здесь возникает тот же вопрос: как записать это число такой
дробью, которая бы с достаточной точностью его выражала? Если мы
требуем, чтобы знаменатель такой дроби был не более тысячи, то
ответ 355/113. А как получить 355/113? Мнемоническое правило:
запишите 1, 1, 3, 3, 5, 5, после этого разрубите пополам, большее
уходит в числитель, а меньшее в знаменатель, и вы получите с
невероятной точностью. Возьмите сейчас калькулятор и посчитайте:
355/113=3,141592 у вас шесть знаков после запятой будут совпадать с
тем значением, которое вы найдете в таблице Брадиса или интернете.
Как же вышло так, что вы требовали знаменатель не больше тысячи, а
точность получили не одну тысячную, что можно было бы ожидать? Если
вы шагаете одна тысячная, две тысячных, три тысячных, четыре
тысячных и так далее, в какой-то момент обнаружите, что между
соседними тысячными долями зажато число , и оно будет вычислено с
точностью не менее чем одна тысячная. И вдруг оказывается, что одна
из таких дробей дает одну миллионную, а не одну тысячную! А что,
если попробовать посчитать наилучшее приближение среди всех дробей
со знаменателем не более миллиона? Я вас обрадую снова: точность
будет порядка миллиона в квадрате, то есть одна триллионная!Магия
математики, которая, естественно, подвергается полному
разоблачению, в том, что если вы берете какое-то иррациональное
число (то есть не дробь) и вычисляете наилучшее его приближение
среди всех, а знаменатель не превосходит данное число n, то
точность будет 1/n2. Более того, это верно только для
иррациональных чисел, а для рациональных точность будет по-прежнему
порядка 1/n. Иными словами, иррациональные числа приближаются
дробями гораздо быстрее, чем рациональные, если брать растущие
знаменатели.Алгоритм действий и цепная дробьА как же получить
соответствующее приближение, как его вручную посчитать, например,
на бумаге? Что следует записать, если надо вычислить или 2? Какое
бы иррациональное число вы ни хотели вычислить, вы должны выполнить
следующую последовательность действий.Прежде всего, выделить целую
часть. Запишем =m+1/. 1/ находится уже между 0 и 1. Затем сделать
обращение, и получится следующее: =+1/(1/). 1/, стоящее в
знаменателе, снова больше 1, потому что дробная часть была меньше
1, а значит, из него снова можно выделить целую часть, и она будет
не меньше 1.Подобную последовательность действий можно продолжать
до бесконечности: на каждом шаге извлекается целая часть, затем
дробная переворачивается, и она оказывается больше 1; снова
извлекается целая часть, и от остатка дробная переворачивается.
Лучше поупражняться с разными числами с 2, 3, 7. Можно попробовать
с , но на определенном шаге необходимо будет точно его считать. А
вот с 2 возникнет удивительный эффект: 2 раскладывается в цепную
дробь:Довольно простое утверждение состоит в том, что рациональные
числа (то есть дроби) и только они раскладываются в конечную цепную
дробь, а иррациональные в бесконечную. Есть даже более точное
утверждение: те и только те иррациональные дроби раскладываются в
периодическую цепную дробь начиная с определенного шага, которые
являются корнями квадратных уравнений с целыми
коэффициентами.Например, уравнение 11x25x+1=0 имеет корни, которые
нацело не извлекаются. Скорее всего, ответом будет иррациональное
число. Пробуем его раскладывать, и получается выражение цепной
дроби, в котором начиная с некоторого места идет повтор
определенного периода списка извлеченных целых частей. Утверждение
не очень простое, двустороннее, и оно было доказано Лагранжем.
Можно взять число, записывающееся в периодическую цепную дробь, для
которого легко выписывается квадратное уравнение с целыми
коэффициентами. А вот то, что любой корень квадратного уравнения с
целыми коэффициентами записывается периодической цепной дробью, это
уже сложнее, это теорема Лагранжа.Итак, для любого иррационального
числа с любой точностью приближения рецепт очень простой: взять все
последовательные приближающие обрубленные цепные дроби, записать
каждую из них в виде отношения целых чисел и взять то из них,
которое имеет знаменатель меньше заданного. Следующее будет более
хорошим приближением, но знаменатель уже вырастет.Задача о
вычислении приближений полностью решена человечеством:
раскладываете в цепную дробь и приближаете. А для корней из целых
чисел есть еще одна вещь, которая работает очень хорошо.
Оказывается, что корень из любого целого числа раскладывается в
палиндромическую цепную дробь: r=[1, 2, 3, 4, , 4, 3, 2, 21]. Любой
корень из целого числа будет иметь такой вид, и обрубать надо там,
где стоит 2, и оно будет самое большое по размеру.В каждом периоде
вы будете получать лучшее приближение, которое будет удовлетворять
уравнению Пелля: x2my2=1, где m это число, из которого вы извлекали
корень. То есть дробь x/y будет настолько близка к m, насколько это
вообще возможно. Точное равенство, конечно, невозможно x/y может
быть лишь приблизительно равно m. А насколько точно оно может быть
равно m? Возведем выражение в квадрат получится x2/y2m, то есть x2
my2. Но x2my2 это примерное равенство целых чисел, точное
совпадение которых невозможно. Значит, что мы можем потребовать
максимально возможного? Чтобы они отличались на 1. Ровно так
рассуждал Ферма, когда написал уравнение Пелля. Почему же оно тогда
так называется? А по теореме Арнольда: в математике много фактов
названо именами людей, которые никакого отношения к ним не имели, и
теорема Арнольда тоже удовлетворяет этому, она самоприменима.
