Русский
Русский
English
Статистика
Реклама

Комплексные числа

Когда аль-Хорезми придумал, как решать уравнения вида ax2+bx+c=0, за что все школьники мира должны быть ему благодарны, оказалось, что иногда уравнения корней не имеют. Как научиться решать любое квадратное уравнение и что такое комплексные числа?Формула КарданоКак решить x2+1=0, то есть x2=-1? Ведь нет ни одного вещественного числа (в нашем понимании обычного), которое при умножении на себя даст отрицательное число. Получается, что у некоторых уравнений не один, а два корня. Уравнение x2-4x+4=0 это на самом деле (x-2)2=0, и оно имеет только один корень х=2. В случае с x2-4x+5=0 (или 1+(x-2)2=0) не будет решения в силу того же самого эффекта. Получается, перед нами три похожих друг на друга уравнения: x2-4x+3=0, имеющее два корня (x=3 и x=1), x2-4x+4=0 один корень (x=2), x2-4x+5=0, не имеющее корней.Почему у последнего уравнения корней нет, хотя оно тоже квадратное? Чтобы ответить на этот вопрос, перенесемся из VIIIIX веков, когда жил аль-Хорезми, в XVI, когда Кардано, Тарталья и Феррари совместными усилиями научились решать кубические и квартические уравнения уравнения третьей и четвертой степени. Работая с уравнением вида ax3+bx2+cx+d=0, можно выписать общую формулу x= и дальше будет нагромождение из дробей, корней извлечения, скобок в огромном количестве, много действий, и в результате выражение универсальным образом решит заданное уравнение третьей степени. Ни одна страна не дошла до такой степени садизма, чтобы заставлять всех школьников учить формулу Кардано. Однако я своих учеников из математических классов с формулой Кардано знакомлю. Она сложная, но на самом деле в некоторых упрощенных случаях выглядит вполне трактуемо.Запишем уравнение (x-1)*(x-2)*(x+3)=0, три корня которого х=1, х=2, х=-3. По идее формула Кардано должна выдавать эти корни через страшный чемодан с коэффициентами. Но если мы раскроем скобки и запишем соответствующее уравнение, получится x3-7x+6=0. Применим к нему формулы Кардано. Они не будут очень сложными, но внутри них будут кубические и квадратные корни последние нужно будет извлекать из -100, то есть из отрицательных чисел. Иными словами, при попытке решить уравнение x3-7x+6=0, которое имеет корни х=1, х=2, х=-3, формула, которая универсально дает корни кубического уравнения, проходит через вычисление корней из отрицательных чисел. Получается, без комплексных чисел нет ничего на свете, и формулы Кардано даже для решения уравнений, у которых все корни вещественные, придется применять, извлекая корни из отрицательных чисел.Существует множество разных мотиваций, в том числе в физике: многие системы уравнений, описывающие естественные процессы вроде движения жидкости, когда вы находите стационарные режимы, выдают уравнения, у которых комплексные корни. И без комплексных чисел вам не изучить даже движение жидкости или газа, гидродинамику. Поэтому, не задерживаясь на вещественных числах, сразу переходите к комплексным.Теория комплексных чиселПредположим, нам нужно все-таки уметь решать любое квадратное уравнение, а не делить их на имеющие корни и не имеющие корней. Пусть все квадратные уравнения всегда имеют корни. Тогда нам нужно научиться извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Начнем с того, что корень из -1, который нам потребуется, обозначим новой буквой i. Если мы верим в то, что число i имеет те же права, как и все остальные вещественные числа, тогда надо уметь домножать его на вещественные числа и складывать его с ними. Здесь мы сталкиваемся с выражениями вида a+bi: вещественное число a плюс вещественное число b, помноженное на новое число i. Если мы разрешаем выражения вида a+bi, то любое квадратное уравнение получает два корня, которые могут быть оба комплексными или вещественными либо слипаться в один корень.Как их складывать и вычитать? Это просто: нужно сложить (или вычесть) отдельно те части, которые содержат i, и те части, в которых i нет, то есть (a+bi)+(c+di) это (a+c)+(b+d)*i. Иначе надо действовать в случае с умножением: написать a+bi и c+di рядом, заключить в скобки оба числа, а после раскрыть скобки по обычным правилам; при этом необходимо помнить, что i в квадрате это -1. Получится (a+bi)*(c+di)=(ac-bd) это вещественная часть, без i, и прибавить (bc+ad)*i.Для такого выражения запишем и деление. Делить можно на любое комплексное число, отличное от нуля. А 0 это 0+0*i: обе части, вещественная и мнимая, нулевые. Если мы варьируем a и b независимо друг от друга, то выражения вида a+bi заполняют всю плоскость, как и все пары a и b. Получается декартовая система на плоскости система координат, и любая точка плоскости, получая координаты a и b, ассоциируется с определенным комплексным числом a+bi, которое часто изображается вектором стрелкой из начала координат (0, 0) в эту точку. Иными словами, комплексные числа это одновременно все векторы на плоскости, берущие начало в точке (0, 0).Тогда можно задаться вопросом А как устроено сложение с точки зрения векторов? и получить ответ: это то же сложение векторов, которое изучают в школе, например, по правилу треугольника, когда из произвольной точки откладывается первый вектор, из его конца второй вектор, и построенный вектор, соединяющий начало первого с концом второго, будет суммой двух векторов. Аналогично производится вычитание.А умножение надо доказывать, и это не очень просто. Оказывается, что правило умножения, при котором (a+bi)*(c+di) дает (ac-bd)+(bc+ad)*i, отвечает тому, что мы перемножаем длины векторов, торчащих в a+bi и c+di. Перемножив длины, мы знаем, на какой окружности будет находиться результат произведения. А чтобы узнать, в какой именно точке этой окружности лежит результат произведения, надо сложить не перемножить! углы (величие комплексных чисел в том, что при их умножении одна сущность перемножается, а другая складывается). Длины векторов перемножаются, а углы векторов, отложенные от вектора, торчащего в точку (1, 0), мы откладываем против часовой стрелки. Итак, при умножении комплексных чисел углы, отложенные от единицы к первому и ко второму, складываются, а длины перемножаются. Если комплексное число равно 0, то у него нет угла, но в этом случае нам и так известен результат: если 0 умножить на любое число, получится 0 тогда нам угол и не нужен.Такая арифметика оказывается очень полезной и удобной. В частности, Гаусс доказал, что любое уравнение вида axn+bxn-1+cxn-2, где коэффициенты многочлена a, b, c не просто вещественные, а могут быть даже комплексными числами, всегда имеет комплексный корень. Поэтому комплексные числа так эффективны. Они алгебраически замкнутая система, и внутри них лежат все корни всех многочленов с комплексными коэффициентами, чего нельзя сказать о вещественных числах. Это не очень просто, но абсолютно необходимо в любой области естественных знаний.
Источник: postnauka.ru
К списку статей
Опубликовано: 01.09.2020 14:01:52
0

Сейчас читают

Комментариев (0)
Имя
Электронная почта

Общее

Категории

Последние комментарии

© 2006-2020, umnikizdes.ru