Когда аль-Хорезми придумал, как решать уравнения вида ax2+bx+c=0,
за что все школьники мира должны быть ему благодарны, оказалось,
что иногда уравнения корней не имеют. Как научиться решать любое
квадратное уравнение и что такое комплексные числа?Формула
КарданоКак решить x2+1=0, то есть x2=-1? Ведь нет ни одного
вещественного числа (в нашем понимании обычного), которое при
умножении на себя даст отрицательное число. Получается, что у
некоторых уравнений не один, а два корня. Уравнение x2-4x+4=0 это
на самом деле (x-2)2=0, и оно имеет только один корень х=2. В
случае с x2-4x+5=0 (или 1+(x-2)2=0) не будет решения в силу того же
самого эффекта. Получается, перед нами три похожих друг на друга
уравнения: x2-4x+3=0, имеющее два корня (x=3 и x=1), x2-4x+4=0 один
корень (x=2), x2-4x+5=0, не имеющее корней.Почему у последнего
уравнения корней нет, хотя оно тоже квадратное? Чтобы ответить на
этот вопрос, перенесемся из VIIIIX веков, когда жил аль-Хорезми, в
XVI, когда Кардано, Тарталья и Феррари совместными усилиями
научились решать кубические и квартические уравнения уравнения
третьей и четвертой степени. Работая с уравнением вида
ax3+bx2+cx+d=0, можно выписать общую формулу x= и дальше будет
нагромождение из дробей, корней извлечения, скобок в огромном
количестве, много действий, и в результате выражение универсальным
образом решит заданное уравнение третьей степени. Ни одна страна не
дошла до такой степени садизма, чтобы заставлять всех школьников
учить формулу Кардано. Однако я своих учеников из математических
классов с формулой Кардано знакомлю. Она сложная, но на самом деле
в некоторых упрощенных случаях выглядит вполне трактуемо.Запишем
уравнение (x-1)*(x-2)*(x+3)=0, три корня которого х=1, х=2, х=-3.
По идее формула Кардано должна выдавать эти корни через страшный
чемодан с коэффициентами. Но если мы раскроем скобки и запишем
соответствующее уравнение, получится x3-7x+6=0. Применим к нему
формулы Кардано. Они не будут очень сложными, но внутри них будут
кубические и квадратные корни последние нужно будет извлекать из
-100, то есть из отрицательных чисел. Иными словами, при попытке
решить уравнение x3-7x+6=0, которое имеет корни х=1, х=2, х=-3,
формула, которая универсально дает корни кубического уравнения,
проходит через вычисление корней из отрицательных чисел.
Получается, без комплексных чисел нет ничего на свете, и формулы
Кардано даже для решения уравнений, у которых все корни
вещественные, придется применять, извлекая корни из отрицательных
чисел.Существует множество разных мотиваций, в том числе в физике:
многие системы уравнений, описывающие естественные процессы вроде
движения жидкости, когда вы находите стационарные режимы, выдают
уравнения, у которых комплексные корни. И без комплексных чисел вам
не изучить даже движение жидкости или газа, гидродинамику. Поэтому,
не задерживаясь на вещественных числах, сразу переходите к
комплексным.Теория комплексных чиселПредположим, нам нужно все-таки
уметь решать любое квадратное уравнение, а не делить их на имеющие
корни и не имеющие корней. Пусть все квадратные уравнения всегда
имеют корни. Тогда нам нужно научиться извлекать квадратные корни
из отрицательных чисел. Начнем с того, что корень из -1, который
нам потребуется, обозначим новой буквой i. Если мы верим в то, что
число i имеет те же права, как и все остальные вещественные числа,
тогда надо уметь домножать его на вещественные числа и складывать
его с ними. Здесь мы сталкиваемся с выражениями вида a+bi:
вещественное число a плюс вещественное число b, помноженное на
новое число i. Если мы разрешаем выражения вида a+bi, то любое
квадратное уравнение получает два корня, которые могут быть оба
комплексными или вещественными либо слипаться в один корень.Как их
складывать и вычитать? Это просто: нужно сложить (или вычесть)
отдельно те части, которые содержат i, и те части, в которых i нет,
то есть (a+bi)+(c+di) это (a+c)+(b+d)*i. Иначе надо действовать в
случае с умножением: написать a+bi и c+di рядом, заключить в скобки
оба числа, а после раскрыть скобки по обычным правилам; при этом
необходимо помнить, что i в квадрате это -1. Получится
(a+bi)*(c+di)=(ac-bd) это вещественная часть, без i, и прибавить
(bc+ad)*i.Для такого выражения запишем и деление. Делить можно на
любое комплексное число, отличное от нуля. А 0 это 0+0*i: обе
части, вещественная и мнимая, нулевые. Если мы варьируем a и b
независимо друг от друга, то выражения вида a+bi заполняют всю
плоскость, как и все пары a и b. Получается декартовая система на
плоскости система координат, и любая точка плоскости, получая
координаты a и b, ассоциируется с определенным комплексным числом
a+bi, которое часто изображается вектором стрелкой из начала
координат (0, 0) в эту точку. Иными словами, комплексные числа это
одновременно все векторы на плоскости, берущие начало в точке (0,
0).Тогда можно задаться вопросом А как устроено сложение с точки
зрения векторов? и получить ответ: это то же сложение векторов,
которое изучают в школе, например, по правилу треугольника, когда
из произвольной точки откладывается первый вектор, из его конца
второй вектор, и построенный вектор, соединяющий начало первого с
концом второго, будет суммой двух векторов. Аналогично производится
вычитание.А умножение надо доказывать, и это не очень просто.
Оказывается, что правило умножения, при котором (a+bi)*(c+di) дает
(ac-bd)+(bc+ad)*i, отвечает тому, что мы перемножаем длины
векторов, торчащих в a+bi и c+di. Перемножив длины, мы знаем, на
какой окружности будет находиться результат произведения. А чтобы
узнать, в какой именно точке этой окружности лежит результат
произведения, надо сложить не перемножить! углы (величие
комплексных чисел в том, что при их умножении одна сущность
перемножается, а другая складывается). Длины векторов
перемножаются, а углы векторов, отложенные от вектора, торчащего в
точку (1, 0), мы откладываем против часовой стрелки. Итак, при
умножении комплексных чисел углы, отложенные от единицы к первому и
ко второму, складываются, а длины перемножаются. Если комплексное
число равно 0, то у него нет угла, но в этом случае нам и так
известен результат: если 0 умножить на любое число, получится 0
тогда нам угол и не нужен.Такая арифметика оказывается очень
полезной и удобной. В частности, Гаусс доказал, что любое уравнение
вида axn+bxn-1+cxn-2, где коэффициенты многочлена a, b, c не просто
вещественные, а могут быть даже комплексными числами, всегда имеет
комплексный корень. Поэтому комплексные числа так эффективны. Они
алгебраически замкнутая система, и внутри них лежат все корни всех
многочленов с комплексными коэффициентами, чего нельзя сказать о
вещественных числах. Это не очень просто, но абсолютно необходимо в
любой области естественных знаний.