Совместно с издательством Corpus мы публикуем отрывок из книги
американского писателя, журналиста и популяризатора науки Джеймса
Глика Хаос. Создание новой науки об истории возникновения науки о
хаосе. Перевод с английского Михаила Нахмансона, Екатерины
Барашковой.Стаи хищных рыб пожирают планктон1. Влажные тропические
леса кишат неизвестными рептилиями, птицами, скользящими под
навесом густой листвы, насекомыми, гудящими, словно частицы в
ускорителе. Там, где царит вечная мерзлота, идет тяжелая борьба за
выживание: регулярно, раз в четыре года, стремительно возрастает, а
затем убывает численность популяций полевок и леммингов. Наш мир
огромная лаборатория природы, создавшей около пяти миллионов
взаимодействующих друг с другом биологических видов2. Или
пятидесяти миллионов? Специалистам точно не известно.Биологи XX
века, обратившись к математике, создали новую дисциплину экологию,
которая, абстрагируясь от шума и яркости реальной жизни, стала
рассматривать популяции как динамические системы. Экологи включили
в свой арсенал элементарные инструменты математической физики для
описания колебаний численности биологических объектов. Вот какой-то
вид активно размножается там, где ограничены пищевые запасы, вот
несколько других борются между собой за выживание, вот эпидемия
косит целые популяции и все эти процессы происходят как бы
изолированно друг от друга, если не в лабораториях, так уж точно в
умах теоретиков от биологии.Когда в 1970-е годы хаос превратился в
обособленную отрасль знания, экологам в ней была отведена
специальная ниша. Ведь они тоже прибегали к математическому
моделированию, всегда сознавая, что их модели лишь слабое
приближение к реальному миру, в котором кипит жизнь3. Зато
осознание этого факта позволяло проникаться важностью идей, которые
математики считали не более чем странными. Появление в стабильных
системах неупорядоченного поведения означало для эколога отличный
результат. Уравнения, применявшиеся в популяционной биологии, были
элементарными аналогами физических моделей отдельных фрагментов
Вселенной. Тем не менее предмет исследования биологических наук
своей сложностью превосходил любую физическую задачу.
Математические модели биологов, как и те, что создавались
экономистами, демографами, психологами и градостроителями,
привносили в эти далекие от точности дисциплины элементы строгости
и жесткости, однако напоминали карикатуры на реальный мир.
Разумеется, стандарты, принятые в разных областях знания,
различались: физику система уравнений Лоренца казалась простой,
если не сказать примитивной, а для биолога она, с ее трехмерностью,
непрерывной изменчивостью и отсутствием аналитического решения,
представляла непреодолимую трудность.Биологи вынуждены были создать
новые методы исследований, несколько по-иному подгоняя
математические абстракции под реальные феномены. Физик, анализируя
определенную систему (допустим, два маятника, соединенные
пружиной), начинает с подбора уравнений: сначала он смотрит в
справочник, а если там не найдется ничего подходящего, строит
нужные уравнения исходя из основополагающих теоретических
принципов. Совмещая знания о маятниках и знания о пружинах, он
получает искомые уравнения, а затем пытается их решить, если это
возможно. Биологу, напротив, никогда не придет мысль теоретически
вывести необходимые уравнения, основываясь лишь на знаниях об
отдельной популяции животных. Ему необходимо собрать данные, а
затем уже попробовать найти уравнения, которые дали бы схожий с
реальностью результат. Что получится, если поместить тысячу рыб в
пруд с ограниченными пищевыми ресурсами? Что изменится, если
выпустить туда еще пятьдесят акул, поедающих по две рыбы в день?
Какая судьба постигнет вирус, вызывающий гибель определенного
количества животных и распространяющийся с известной скоростью,
которая зависит от плотности популяции? Экологи идеализировали
подобные задачи, стараясь решить их с помощью уже известных
формул.Зачастую такой подход срабатывал. Популяционная биология
выяснила кое-что об истории возникновения жизни, об отношениях
хищников и их жертв, о том, как влияет изменение плотности
населения в регионе на распространение болезни. Если математическая
модель показывала, как процесс развивается, достигает равновесия
или затухает, экологи могли представить себе обстоятельства, в
которых реальные популяции и эпидемии будут вести себя так же.Одно
из весьма полезных упрощений заключалось в моделировании
окружающего мира в рамках отдельных временных интервалов. Так,
стрелка наручных часов секунда за секундой прыгает вперед, вместо
того чтобы скользить непрерывно. Дифференциальные уравнения
описывают плавно изменяющиеся во времени процессы, но такие
уравнения трудно решить. Гораздо проще использовать так называемые
разностные уравнения, вполне пригодные для описания процессов,
скачкообразно переходящих от состояния к состоянию. К счастью,
большинство популяций животного мира проходит свой жизненный цикл
за год. Изменения, происходящие от года к году, зачастую важнее
тех, что случаются минута за минутой. В отличие от людей многие
насекомые, например, успевают развиться, достичь зрелости, дать
потомство и умереть за один сезон, и поэтому периоды жизни
поколений у них не накладываются друг на друга. Чтобы рассчитать,
какова будет численность популяции непарного шелкопряда следующей
весной или сколько людей зимой заболеют корью, экологу хватает
данных текущего года. Столь точная повторяемость цифр, подобная
неизменяющейся подписи человека, дает весьма слабое представление о
сложности системы, однако для многих реальных ситуаций ученому
этого представления достаточно.В сравнении с математикой Стива
Смейла математика экологии это то же самое, что десять заповедей в
сравнении с Талмудом: отличный набор действующих правил, но ничего
особо запутанного. Для описания популяции, численность которой
меняется каждый год, биологу достаточно проделать вычисления,
доступные даже старшекласснику. Предположим, что будущая
численность популяции непарного шелкопряда полностью зависит от ее
численности в текущем году. Вообразите, что у вас есть таблица,
отражающая эту зависимость: если численность особей достигнет 31
тысячи в текущем году, следовательно, через год их будет уже 35
тысяч, и так далее. Представить соотношение между данными
величинами, как правило, можно в виде функции: численность
популяции (x) в будущем году есть функция (F) от нынешней
численности: xnext = F (x). Любую такую функцию можно изобразить в
виде графика и мгновенно понять ее свойства.Чтобы проследить за
динамикой популяции в такой модели, вы просто выбираете какой-то
стартовый размер популяции, применяете к нему функцию, к результату
снова применяете ту же функцию и продолжаете так снова и снова.
Данные для третьего года выводятся из данных для второго, и так
далее. Благодаря подобному итерационному процессу можно рассмотреть
историю популяции на протяжении многих лет. Тут обнаруживается
своего рода обратная связь, когда результат каждого года служит
исходной величиной для последующего. Обратная связь может стать
неуправляемой, как бывает, когда звук из громкоговорителя проходит
обратно через микрофон, мгновенно усиливаясь до невыносимого визга.
С другой стороны, обратная связь способна породить и стабильность,
как в случае с термостатом, который регулирует температуру в жилом
доме: любое ее увеличение сверх определенного уровня ведет к
охлаждению, а за снижением следует нагрев.Возможно применение
множества разных типов функций. Та, которую используют при
упрощенном подходе, предполагает, что численность популяции
ежегодно увеличивается на сколько-то процентов; это линейная
функция xnext = rx. Данное выражение иллюстрирует классическую
мальтузианскую схему увеличения популяции, не сдерживаемого пищевым
и моральным факторами. Величина r есть коэффициент прироста
численности особей. Допустим, его значение равно 1,1. В таком
случае, если популяция в текущем году насчитывает 10 особей, в
следующем их будет уже 11. Если у нас есть 20 тысяч, спустя год
будет 22 тысячи. Численность популяции растет и растет, словно
сумма, которая положена на сберегательный счет, предполагающий
капитализацию процентов.Впрочем, экологи давно уже поняли, что им
необходимо нечто более сложное. Ученый, который хочет что-то узнать
о реальных рыбах в реальном водоеме, должен найти функцию, которая
учитывала бы жестокую реальность, например угрозу голода или
соперничество в стае. По мере роста популяции истощается запас
пищи. Размеры небольшой стаи быстро растут, а чересчур большая стая
сокращается. Или возьмем японских жуков. Попробуйте каждый год 1
августа выходить в сад и подсчитывать их численность. Чтобы
упростить задачу, не принимайте во внимание птиц или болезни
данного вида насекомых учтем лишь имеющийся запас пищи. Выяснится,
что жуки активно размножаются, когда их мало, но стоит им чересчур
расплодиться, как они объедают весь сад и после этого гибнут от
голода.В мальтузианской схеме неограниченного увеличения
численности популяции значение линейной функции роста всегда будет
увеличиваться. Схема же, более приближенная к жизни, должна
включать в себя дополнительный фактор, сдерживающий рост, если
популяция уже и так велика. Наиболее подходящей кажется функция,
которая будет резко возрастать при небольших размерах популяции,
сводить рост ее численности примерно к нулю при средних размерах и
убывать при быстром размножении особей. Пользуясь ею из раза в раз,
эколог может наблюдать, как ведет себя популяция на протяжении
длительных периодов времени предположительно, стремясь к состоянию
равновесия. Успешно позаимствовав все необходимое из математики,
эколог будет рассуждать примерно так: Мы имеем уравнение. Вот
переменная, являющаяся коэффициентом воспроизводства. Вот
коэффициент естественной смертности. А вот переменная, которая
служит коэффициентом смертности, обусловленной внешними причинами,
в том числе голодом и нападением хищников. Смотрите: популяция
будет расти с такой-то скоростью, пока не достигнет такого-то
уровня равновесия.
Но как найти подобную функцию? Тут могут подойти многие уравнения.
Вероятно, проще всего модифицировать линейную мальтузианскую
модель: хnext = rх (1 x). И снова величина r коэффициент роста,
который можно увеличить или уменьшить. Новый член (1 x) удерживает
рост в определенных границах, поскольку увеличение x приводит к
уменьшению (1 x)0. Имея калькулятор, можно задать начальное
значение, выбрать коэффициент роста и вычислить результат
численность популяции в следующем году.К 1950-м годам некоторые
экологи уже использовали варианты рассмотренного выше уравнения,
известного как логистическое разностное уравнение4. В частности,
Уильям Эдвин Рикер из Австралии применил его для оценки реальных
рыбных промыслов. Ученые поняли, что коэффициент роста r является
важной характеристикой модели. В физических системах, откуда,
собственно, и были позаимствованы подобные уравнения, данный
параметр отвечал количеству теплоты, или силе трения, или еще
какой-нибудь непонятной величине, воплощающей нелинейность.
Применительно к пруду с рыбами он должен соответствовать
плодовитости рыб, способности популяции расти и вымирать (так
называемому репродуктивному потенциалу). Вопрос заключался в том,
как именно этот параметр влияет на дальнейшую судьбу изменяющейся
популяции. Очевидно, что небольшое значение параметра повлечет за
собой стабилизацию числа особей на относительно невысоком уровне, а
значение побольше на относительно высоком. Это справедливо для
многих значений, но не для всех. Время от времени исследователи, и
Рикер в их числе, наверняка использовали слишком большие значения и
должны были увидеть хаос.Когда числа начинают странно себя вести,
они доставляют человеку, вооруженному механической счетной машинкой
с ручным приводом, изрядные неприятности. Конечно, числа не растут
до бесконечности, но они и не сходятся к какому-то пределу.
Впрочем, ни один из экологов 1960-х годов, по всей видимости, не
был склонен (а может, им не хватало упорства) долго возиться с
числами, которые отказываются к чему-либо сходиться. Так или иначе,
колебания численности популяции давали экологам повод предположить,
что происходят они вокруг некоего скрытого уровня равновесия.
Считая последнее весьма важным, экологи даже не предполагали, что
никакого равновесия может и не быть.Справочники и учебники,
посвященные логистическим уравнениям и их более сложным вариантам,
не содержали, как правило, никаких указаний на возможные проявления
неупорядоченности5. Джон Мэйнард Смит в классической работе
Математические идеи в биологии, вышедшей в 1968 году, так определил
возможные перспективы развития: численность популяции часто
является величиной почти постоянной или колеблется вокруг
предполагаемого положения равновесия с весьма регулярной
периодичностью. Автор не был столь наивен, чтобы допускать
отсутствие неупорядоченного поведения в жизни реальных популяций.
Он лишь полагал, что с описанными им математическими моделями такое
поведение не имеет ничего общего. Будь это иначе, биологи избегали
бы пользоваться подобными моделями. Если модель не оправдывала
ожиданий своего создателя относительно реального положения дел в
популяции, расхождение всегда можно было объяснить тем, что
какая-то величина (возрастной состав популяции, специфика ареала
или географической среды, соотношение полов) осталась неучтенной.Но
что важнее всего, в глубине души экологи всегда были склонны
списывать неупорядоченность числового ряда на несовершенство
счетной машинки или недостаточную точность таких вычислений6.
Интерес представляли устойчивые решения, порядок казался лучшей
наградой. В конце концов, процедура подбора нужных уравнений и их
решения требовала известных усилий. Никто не хотел впустую тратить
время на ошибочные изыскания, не выявлявшие стойкой тенденции, и ни
один опытный эколог не забывал, что его уравнения не более чем
примитивная версия реальных явлений. На упрощения шли ради
моделирования упорядоченности. Стоило ли преодолевать трудности,
чтобы узреть хаос?
