Некоторые открытия в математике находят свое применение спустя
десятки и даже сотни лет. Так произошло с нейросетями:теория
машинного обучения возникла еще в 1970-х, но заинтересовались ею
совсем недавно. О доказательстве теоремы Ферма, гипотезе Пуанкаре и
том, какие проблемы математика решает сейчас, ПостНауке рассказала
Елена Бунина. Отличается ли современная математика от той, чтобыла
20 лет назад? Что изменилось? Математика очень разная, поэтому так
сразу не скажешь.Во-первых, за последние 2030 лет математика сильно
продвинулась вперед. Многие открытия освещались в прессе например,
в 1993 году наконец-то доказали теорему Ферма.Во-вторых, сейчас
много ветвей математики. Еще 100 лет назад можно было сказать про
ученого просто математик, он был универсалом: занимался геометрией,
алгеброй, математическим анализом, даже если тогда это называлось
иначе. А потом ветви математики стали развиваться и все больше
отдаляться друг от друга. Сейчас появляются все более узкие
специалисты. При этом самые интересные вещи получаются на стыке
областей. Насколько фундаментальные открытия в математике влияют на
другие науки? Бывает, что открытие было сделано 200 лет назад,
лежало на полке, а потом раз и сыграло. В 1970-е годы была развита
первая теория машинного обучения, нейронных сетей. Но кто в
1980-е,1990-е, 2000-е годы знал про нейронные сети? А они были
придуманы, просто это открытие не к чему было применить, потому что
техника еще не дошла до нужного уровня. А потом в какой-то момент
скорость увеличилась, появилась возможность вводить больше
параметров, и этого оказалось достаточно для того, чтобы нейронная
сеть начала вести себя, грубо говоря, как человек. И тогда,
естественно, подняли всю науку.Но мне иногда кажется, что
ученый-математик во многом несчастный человек. Он сидит, для себя
занимается наукой, для себя доказывает теоремы. А реальную пользу
того, что он делает, никому не может объяснить. Он в каком-то
смысле художник, при этом художник пишет, и все могут увидеть то,
что он делает. А красивую теорему могут оценить только коллеги. К
вопросу прикладного использования математики: какие профессии
закрыты для человека, если он не занимается математикой? Если у
человека совсем плохо с математикой, ему в принципе тяжело: могут
возникнуть сложности даже с тем, чтобы посчитать площадь квартиры.
Математика помогает развивать логику, критическое мышление,
фильтровать информацию, анализировать и проверять гипотезы.Если
говорить про профессиональную жизнь, то есть много специальностей,
где не нужно знать математику на очень высоком уровне. Но сейчас
анализ данных входит в нашу жизнь, и на многих гуманитарных
факультетах есть связанные с ним программы. Хотя знания математики
всегда пригодятся. Даже в HR Яндекса мы с удовольствием берем
выпускников мехмата, потому что они способны анализировать данные
по сотрудникам.Мы часто видели мнение, что есть естественные науки,
а есть математика, которая стоит отдельно, оперирует другими,
абстрактными сущностями. Как математика отличается от других
наук?Говорят, что математика царица наук, ее немного выделяют. В
математике все очень точно: ввели определение, сформулировали
утверждение, теорему и дальше ее доказали. При этом все строго:
ответ не зависит ни от идеологии в стране, ни от пола проверяющего,
ни от прибора. Перейдем к тяжеловесной части нашего разговора. Чем
занимается настоящая математика?Математический институт Клэя в 2000
году сформулировал семь проблем тысячелетия: важные классические
задачи, решение которых не найдено в течение многих-многих лет. За
решение каждой из них полагается премия в миллион долларов. Только
одна из этих задач сейчас решена гипотеза Пуанкаре, которую
Григорий Перельман доказал в 2002 году. Он получил за это
Филдсовскую премию в 2006 году, но отказался от нее. Это
единственная задача тысячелетия, которую можно как-то нормально
описать. Все остальные так просто не сформулируешь они пугают, если
честно.
Но, наверное, не вся математическая наука решает задачи
тысячелетия? Я бы сказала, что есть три направления, так сказать,
идейных части, которыми она занимается. Первое это какие-то давно
стоящие задачи, необязательно из списка задач тысячелетия. Иногда
понятно, как они будут применяться, иногда просто интересно узнать
решение.Кроме того, есть научная задача развиваться во все стороны:
мы никогда не знаем, что применится через 100 лет, через 10 лет или
даже через год. И наконец, бывают конкретно прикладные задачи.
Например, от практиков, которые занимаются компьютерными науками,
поступает заказ: А сконструируйте мне такую-то нейросеть, которая
бы лучше всего распознавала вот это. Касательно прикладной части
математики: теория игр это как раз интересное приложение математики
к нашей повседневной жизни. Можете рассказать о ней подробнее,
какие у нее перспективы? Теория игр это очень хорошая иллюстрация
того, какое применение может быть у математики. Ее приложений к
экономике бесконечно много. И Джон Форбс Нэш, который занимался
теорией игр, получил Нобелевскую премию (которую математикам, как
известно, не дают) по экономике.Если у вас есть совершенно любая
практическая задача экономическая, политическая и вам удалось
переписать ее в математическую модель, то и решение мы найдем чисто
математическими методами. Так ли необходима теория категорий или
это просто мода? Теория категорий это способ подъема математических
утверждений на более абстрактный уровень, а потом и спуска. Она
интересна тем, что, когда на ее язык перевели некоторый набор
утверждений, многое нерешенное решилось например,это и произошло с
теоремой Ферма. Но при этом теория категорий некоторым людям
непонятна, потому что она звучит очень абстрактно. Хотя в химии,
физике, теории кодирования у этой теории есть применение. Вы с
таким вдохновением говорите о достаточно сложных вещах. Каким путем
вы пришли в математику? Я влюбилась в нее уже в детстве. Папа
рассказал, что, когда мне был год и месяц, к нам пришли гости и
подарили мне синюю лопатку. Я ушла в комнату, вынесла зеленую
лопатку, подняла обе лопатки и сказала: Два. И папа такой: О, этот
ребенок будет математиком! и пошло-поехало. Мне нравились
математические задачи, я всегда хотела их решать.Помню, в одной из
книжек, которые я в детстве читала, шла речь про лист Мёбиуса в
советское время так называлась лента Мёбиуса. Я пошла домой, взяла
всю бумагу, которая у нас была. Клеила эти листы Мёбиуса, разрезала
их вдоль. Потом у меня вся квартира была завалена этими листами.А
дальше шло по накатанной: математический класс, олимпиады, мехмат
МГУ и наука. Что конкретно вы изучаете в математике? Еще когда я
училась в университете, мне нравились два предмета: алгебра и
логика. Сначала я не могла выбрать, на какую кафедру идти, ужасно
мучилась. А когда начала заниматься наукой, остановилась на чем-то
между алгеброй и логикой. Представьте, что у вас есть два множества
с одинаковым языком например, целые числа, которые можно
складывать, вычитать. Это так называемая группа.Теперь возьмем
что-нибудь другое, 1 и -1, и скажем, что их можно умножать. Это
тоже группа. То есть у нас есть два множества с одинаковым языком
инекоторыми свойствами. И дальше мы про множества такого типа можем
писать предложения. Что значит предложения? Это значит, что мы
можем употреблять понятия, переменные и совершать те операции,
которые у нас есть на этом множестве. Например, мы можем сказать:
существует такой x, что для любого y x+y = y. Х это ноль, таким
образом, мы записали ноль предложением.Это то, что я начала изучать
еще в университете и до сих пор продолжаю: берутся очень разные
объекты и изучаются верные в них предложения. Тяжело ли было
окончить Независимый московский университет? Да, тяжело. С мехмата
в какой-то момент ушло много сильных ученых, которые в 1991 году
основали Независимый московский университет. Он был без лицензии,
не было освобождения от армии, просто вечернее обучение математике,
но крутое и продвинутое. Я училась там параллельно с мехматом: МГУ
днем, НМУ вечером.Причем сложно было не потому, что там была
супертяжелая математика, а из-за недостатка мотивации. Раньше
особенно ценилось официальное высшее образование, ты обязан был его
получить. А в НМУ не давали настоящего диплома, только красивую
бумажку, которая подписана известными математиками.У меня был
период, когда я думала, что не справляюсь, сессии шли одна за
другой. Но примерно на третьем курсе стало легче, открылось второе
дыхание. Ив целом хотелось довести дело до конца. Вопрос о самой
известной награде за математические достижения Филдсовской премии.
Интересно, что ее дают раз в четырегода, а не каждый год, как
Нобелевскую. Есть такое чувство, что математика должна
настояться... Мне кажется, дело не в этом. Вручение этой премии
привязано к математическому конгрессу, который проходит раз в
четыре года. Но вообще в математике все происходит быстрее:
кандидатские и докторские защищаются в среднем раньше, чем в других
науках, видимо, потому, что не надо проводить множество
экспериментов.Кстати, в 2014 году ее вручили иранскому математику
Мариам Мирзахани. Она была первой из женщин, кто получил
Филдсовскую премию. Через три года она умерла, но ее день
рождения,3 мая,теперь считается международным Днем женщин в
математике.Мирзахани вручили премию за выдающийся вклад в динамику
и геометрию римановых поверхностей. Про римановы поверхности
простыми словами: представьте сферу, мяч и тор, то есть бублик, из
очень гибкой резины. Если тор растягивать, одну его сторону
вытягивать, получится сфера с торчащей ручкой. А теперь
представьте, что можно в сфере сделать много подобных ручек.
Римановы поверхности это такие сферы с ручками. Мирзахани описывала
то, как на них устроена геометрия.Кстати, в следующий раз
Филдсовскую премию будут давать в 2022 году на конгрессе в
Петербурге. На какие вопросы должна ответить математика, чтобы это
могло повлиять на человечество в целом? Что еще не решено, что
может изменить все вокруг? Автоматическое составление и проверка
доказательств сильно сдвинут мир вперед. И я боюсь этого сдвига:мир
станет сильно автоматизированным. Вопрос о новых подходах:
благодаря математике появилось машинное обучение и теперь машинное
обучение помогает математикам? Или еще нет? Когда-нибудь, наверное,
будет, но пока подходы не изменились со старых времен. Если
говорить о математике как о фундаментальной науке, то все осталось
в каком-то смысле прежним. Ты вводишь какие-то определения,
формулируешь теорему и дальше должен ее доказать, исходя из аксиом.
Ты можешь, конечно, взять компьютер и проверить для большого
количества чисел, что эта теорема верна. Например, для все той же
теоремы Ферма теперь можно было бы взять компьютер и для чисел до
какого-то большого n проверить, что условия не выполняются. Но это
же не доказательство. В этом смысле нет нового метода.
Автоматические проверки и построения доказательств это то, к чему
сейчас пытаются прийти. Существует ли ноль или это специально
введенное понятие? И какое у вас любимое понятие и определение? На
вопрос, существует ли 0, несложно ответить: можно сказать, что в
математике ничего не существует, так как все является специально
введенным понятием. Мне кажется, 0 такое же законное число, как 1
или 2. Потому что передо мной лежат четырекниги, а если все убрать,
каждый скажет, что 0. И, как известно, французская школа отличается
от русской тем, что французы считают 0 натуральным числом.С
отрицательными числами уже похитрее. Если мы расплачиваемсяи я,
например, дала вам рубль, то у меня минус рубль. Или, например,
шкала градусов по Цельсию: есть 0 градусов, есть -1, -2. Это даже
дети довольно быстро понимают. А точка это что за абстракция такая?
Я прямо помню школьный учебник Погорелова, в котором было написано:
точка неопределяемое понятие. В математике в любом случае нужно
хоть что-то назвать неопределяемым понятием, от которого ты
танцуешь. Точка это то, что называется нульмерный объект, то есть
объект, у которого нет ни длины, ни ширины, его измерение нулевое.
Мы обычно описываем точку, если находимся в n-мерном пространстве.
Если на плоскости, где есть ось Х и ось Y, описываем точку парой
чисел, в трехмерной тремя числами. Если мы уйдем из геометрии в
алгебру, мы скажем: Давайте возьмем n-ки чисел и каждую из них
назовем точкой. Проще становится! Можно ли доказать
непротиворечивость математики? Математика непротиворечива и не
непротиворечива. Приведу простой пример: есть натуральные числа, их
бесконечно много. Но бесконечности бывают разные, натуральные числа
можно посчитать, поэтому такое бесконечное множество называется
счетным, все его элементы нумеруются.Есть и другие бесконечности.
Если, например, мы возьмем прямую, которая состоит из точек, это
тоже бесконечность, но не такая же: нельзя все точки пронумеровать.
Мощность (это сколько точек в отрезке) называется континуумом. Вот
есть счетное множество, а есть континуум, они разные. И тут
возникает вопрос: бывает ли множество, которое больше, чем счетное,
то есть его уже нельзя пронумеровать, но меньше, чем континуум,
такое промежуточное множество?И в математике доказано, что можно
так записать аксиому, что будет существовать. И так записать, что
не будет существовать, и ни с какими другими важными теоремами это
не будет конфликтовать. Поэтому гипотеза о том, что между этими
множествами не существует чего-то промежуточного, недоказуема.
Насколько значительным будет влияние математических моделей на
жизнь людей в будущем, ведь в политической и социальной сферах
математика это инструмент планирования? Мне бы хотелось, чтобы оно
было большим, потому что математика это все-таки честное мерило,
без всяких конфликтов интересов. Представим, что при принятии
решений научились превращать ситуацию в математическую модель.
После этого можно задать параметры, что нам нужно оптимизировать, к
чему мы стремимся:меньше потратить, прийти к лучшему результату или
максимизировать суммарное счастье всех людей (тут я немного
фантазирую). И дальше математики садятся и считают. Кажется, можно
было бы правда к чему-то хорошему прийти. Нет ли опасности, что все
зайдет слишком далеко? Останется только математический расчет,
никакого сострадания. Конечно, опасность есть, если представить,
что у власти абсолютно бездушные люди, у которых свои бездушные
цели, и они математически что-то высчитывают. Яскорееимела в виду,
что математический инструмент может помочь. Представим себе, что мы
научились я фантазирую считать счастье человека, исходя из
параметров его жизни. Цель максимизировать счастье каждого, чтобы
оно было не меньше, скажем, 1000 баллов. А дальше математическая
модель рассчитала, что нужно делать, чтобы этих баллов достичь.Но
всегда лучше, чтобы это был не безусловный алгоритм, а некий
советчик. То же и с машинным обучением: есть опасность, что, если
оно заменит все человеческое, нами будут управлять роботы. Но если
они просто советуют и предлагают второе мнение, то польза явно
есть. Философский вопрос к разговору о счастье. Если выяснится, что
у людей надо отнять свободу, чтобы сделать их счастливыми, что вы
выберете? Я не верю в насильственное счастье. Хотя приведу один
пример из жизни Яндекса. Во время пандемии наши сотрудники стали
работать из дома, и многим из них это понравилось. Но потом я стала
замечать, что у некоторых потухший взгляд. Предлагала вернуться в
офис, но те отказывались:дома так комфортно. И если удавалось всеми
правдами и неправдами заманить в офис, то у сотрудника загорались
глаза он переключался и начинал с удовольствием ходить на работу.
Это пример в каком-то смысле насильственного счастья. И это
работает, когда человек не знает, от чего ему будет лучше. Но в
целом я всегда за свободу и счастливых людей.
