Русский
Русский
English
Статистика
Реклама

Господь Бог, Гёдель и поиск истины

Совместно сиздательствомCorpusмыпубликуем отрывок из книги книга Дэвида Дарлинга и Агниджо Банерджи Эта странная Математика на краю бесконечности и за нимо том, как Гедель доказал существование Бога и почему пифагорейцы утопили математика Гиппаса.Математика единственная наука, где возможна абсолютная достоверность. Ее утверждения и теоремы могут быть доказаны безусловно и безоговорочно и останутся истинными уже навсегда. Именно поэтому математики так одержимы поиском доказательств. Строго доказанное предположение становится неопровержимым фактом, незыблемым фундаментом для будущих исследований. Единственное неизбежное и досадное облако, омрачающее в остальном ясный горизонт математики, это сознание того, что всегда, в любой математической системе, будут существовать утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть средствами самой этой системы.Примерно в 1941 году логик австрийского происхождения Курт Гёдель, близкий друг и коллега Эйнштейна по Институту перспективных исследований в Принстоне, доказал существование Бога. В отличие от Эйнштейна, чьи религиозные убеждения находились где-то посередине между агностицизмом и пантеизмом (однажды он сказал, что верит в Бога Спинозы), Гёдель был не посещающим церковь теистом и, по утверждению его жены, каждое воскресное утро читал в постели Библию. Опубликованное им доказательство существования Бога, впрочем, не имело никакого отношения ни к его лютеранским корням, ни вообще к чему-либо, что могло бы найти отклик в душе человека неискушенного. Оно представляло собой плод его изощренного математического ума. Первая строка выглядит так:{P()x[(x) (x)]} P()Последующие выкладки тоже мало что проясняют. Заканчивается доказательство кульминационным.xG(x)Для нас, простых смертных, это означает: Нечто богоподобное безусловно существует.Само собой разумеется, доказательство Гёделя не могло остаться неоспоренным. И хотя, записанное в нотации так называемой модальной логики, оно выглядит весьма впечатляюще и строго научно, основано оно на множестве сомнительных и спорных допущений. Совсем иначе обстоит дело с результатами других, более известных исследований Гёделя прежде всего с его потрясшими мир теоремами о неполноте, о которых мы поговорим чуть позже.Для разных людей доказательствоозначает разные вещи. Для юриста оно может принимать различные формы в зависимости от типа разбираемого дела и судебногооргана. В юриспруденции доказывание по сути сводится к сбору свидетельских показаний и вещественных улик, причем требования к их объему и качеству, необходимые, чтобы убедить судью или жюри присяжных, разнятся при рассмотрении гражданских и уголовных дел. В гражданском процессе решение основывается на принципе большей вероятности: судья вправе признать ответчика виновным, если придет к заключению, что тот вероятнее всегонарушил закон или что существуют обоснованные подозрения. В англо-американской системе уголовного права обвиняемый считается невиновным, пока его вина не доказана; в этом случае доказательствомпризнается не просто высокая вероятность виновности, но виновность вне всяких разумных сомнений.
Ученым-естественникам, как и юристам, чаще приходится иметь дело со свидетельствами, чем с доказательствами. Современные ученые вообще обходятся довольно скромными формулировками и предпочитают не употреблять термины доказательствои истинав некоем абсолютном смысле. Естественные науки это в основном наблюдения, выстраивание теорий, наиболее логично объясняющих результаты наблюдений, и последующая проверка теорий дальнейшими наблюдениями и экспериментами. Научные теории носят предварительный характер: это лишь лучший для своего времени способ с помощью доступной информации объяснить, как функционирует окружающий нас мир. Всего одного нового подтвержденного факта, не укладывающегося в теорию, достаточно, чтобы разбить ее в пух и прах. Возьмите хоть гравитацию. Аристотель был убежден, что тяжелые предметы падают с большей скоростью, чем легкие, ведь если одновременно сбросить с высоты камень и перышко, камень приземлится гораздо быстрее. Потребовалось немало хитроумных экспериментов и почти две тысячи лет, чтобы доказать неправоту Аристотеля.Существует популярная легенда о том, как в 1589 году Галилей окончательно опроверг устаревшие представления о земном тяготении, взобравшись на Пизанскую башню и сбросив оттуда два пушечных ядра разной массы, которые достигли земли одновременно. Скорее всего, такого эксперимента никогда не было: единственный первичный источник, где он упоминается, это биография Галилея, написанная одним из его учеников, Винченцо Вивиани, и опубликованная спустя годы после смерти автора. Зато мы точно знаем, что Галилей экспериментировал с шарами различной массы, которые он скатывал по наклонным плоскостям, ослабив таким остроумным способом эффекты земного тяготения, что позволило ему более точно измерять скорости, с какими падают тела. Результаты экспериментов Галилея и исследований немецкого астронома Иоганна Кеплера позже были положены Исааком Ньютоном в основу новой теории тяготения. Эту теорию до сих пор преподают в школах, с ее помощью составляют программы полетов космических кораблей по Солнечной системе, и на нее можно положиться почти в любой ситуации, когда требуется оценить гравитационные эффекты. Почти. Проблема в том, что она не всегда дает точный результат. Теория всемирного тяготения Ньютона позволяет с очень хорошей точностью предсказать эффекты гравитации настолько хорошей, что в обычной ситуации разница между прогнозом и реальностью просто незаметна. И все же это лишь приближение.В 1915 году Эйнштейн обнародовал свою общую теорию относительности на сегодняшний день нашу лучшую теорию гравитации. Она объясняет то, чего не может объяснить теория Ньютона, например, такие явления, как смещение орбиты Меркурия или отклонение света звезд вблизи Солнца, и ситуации с экстремальным гравитационным притяжением, как вблизи черных дыр. Никто ни на минуту не считает общую теорию относительности Эйнштейна последним словом в изучении гравитации ведь она не объясняет, как действует притяжение в мире предельно малого, где царствует квантовая механика. Должна быть какая-то теория, объединяющая законы квантового мира и гравитацию, мы просто пока не смогли ее найти.Суть в том, что естественно-научную теорию можно опровергнуть или по крайней мере показать, что она не точна, но вот доказать, что она всегда, при любых обстоятельствах верна, невозможно. Будущие открытия, о которых мы сегодня ничего не знаем, могут даже от самой стройной и убедительной теории не оставить камня на камне. С математикой же все иначе.Доказательство основа всей математической науки. В школе этим занимаются нечасто, там акцент больше на решении задач. Но в высшей математике без доказательства никуда, оно главнейшая цель всех ученых. Математическую теорию возможно доказать так, чтоб не оставить и тени сомнения в ее правильности, и, будучи доказанной, она уже не изменится. К примеру, теорема Пифагора о сторонах прямоугольного треугольника доказана достоверно: просто немыслимо, что кто-нибудь когда-нибудь ее опровергнет (с оговорками, которые мы обсудим через минуту). Из всех областей знания есть всего две науки математика и ее близкая родственница логика, где возможна определенность, не допускающая никаких сомнений.Так же как и ученые в естественных науках, на начальном этапе математики ищут свидетельства чего-либо, фактический материал будь то геометрическое правило или закономерность в ряду чисел, а уже потом выдвигают теорию, объединяющую собранную информацию в единое целое. Но, в отличие от естественных наук, в математике теория не подвергается постоянной доработке на основании новых полученных данных. Сколько бы раз математическая теория ни выдерживала испытания практикой в разных ситуациях и с разными значениями, она не будет признана истинной до тех пор, пока не будет предъявлено ее строгое, безукоризненное доказательство. Сама возможность существования таких доказательств говорит о том, что одних подтверждающих данных, свидетельств, математикам недостаточно.История доказательств начинается в Древней Греции. До того времени математика служила людям в основном в практических целях: для расчетов, в строительстве и так далее. Существовали арифметические правила, да при работе с фигурами и пространством применялись проверенные опытом методы, но не более того. Понятие доказательства, появившееся около VII века до нашей эры, связано с деятельностью одного из первых известных представителей натурфилософии Фалеса Милетского. Фалес, чьи интересы охватывали почти все области знаний, в том числе философию, естественные науки, инженерное дело, историю и географию, доказал несколько простых начальных теорем в геометрии.Его соотечественник Пифагор, родившийся полстолетия спустя, известен всем гораздо лучше благодаря теореме, носящей его имя. Сам ли он нашел некое доказательство теоремы Пифагора, или это сделал кто-то из его последователей, сказать невозможно, поскольку никаких письменных свидетельств о таком доказательстве с тех времен не сохранилось. И вавилоняне, и другие народы знали о существовании правила, гласившего, что квадрат самой длинной стороны прямоугольного треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, и применяли его в строительстве. Но кто первый это доказал и в какой форме, неизвестно. Согласно более поздним научным стандартам, то доказательство определенно должно было быть неформальным. Пифагорейцы также причастны к открытию иррациональных чисел тех, что невозможно представить как отношение одного целого числа к другому. Корни этой идеи опять-таки проследить трудно, но, согласно мифу, один из членов пифагорейского культа, Гиппас, каким-то образом доказал, что квадратный корень из 2 невозможно выразить в виде дроби. Остальных пифагорейцев это открытие якобы привело в такой ужас, что они утопили Гиппаса, дабы скрыть от всех изъян в своей картине мира. Однако те немногочисленные древние источники, в которых упоминается история с утоплением, либо не называют Гиппаса по имени, либо утверждают, что наказание постигло его за другое богомерзкое преступление он доказал, что возможно построить додекаэдр внутри сферы.Математическое доказательство сделало огромный шаг вперед и вплотную приблизилось к той форме, в какой оно известно нам сегодня, благодаря трудам другого грека, Евклида, жившего в Александрии, в Египте, в начале III века до нашей эры. В своих Началахон заложил основы современной теории доказательств: некие исходные положения, принимаемые как самоочевидные, сочетаются с пошаговыми рассуждениями, когда каждый шаг, основывающийся на одном или нескольких исходных положениях, логически и неоспоримо вытекает из предыдущего.Началапосвящены в основном геометрии и впервые излагают строгие доказательства многих из геометрических теорем, уже известных в то время грекам. Евклид начинает с перечисления пяти основных посылок, называемых теперь постулатами Евклида: например, От всякой точки до всякой точки [можно] провести прямую линиюи Ограниченную прямую [можно] непрерывно продолжать по прямой1. Эти постулаты, которые сегодня мы именовали бы аксиомами, принимаются настолько очевидно верными, что не требуют доказательства. И даже если бы кто-то взялся их доказать, для этого потребовались бы другие исходные положения. С чего-то ведь все равно надо начинать. Сформулировав постулаты, Евклид приступает затем к рассуждениям, строка за строкой с безупречной логикой выводя каждое новое положение из предыдущего, пока не получит полное доказательство той или иной теоремы. Эти теоремы он использует для доказательства уже следующих, и так далее упорядоченно и последовательно, позволяя читателю с легкостью отслеживать и проверять ход своих рассуждений2.
Источник: postnauka.ru
К списку статей
Опубликовано: 29.03.2021 18:10:55
0

Сейчас читают

Комментариев (0)
Имя
Электронная почта

Общее

Категории

Последние комментарии

© 2006-2021, umnikizdes.ru